Нахождение сторон треугольника через высоту. Высота треугольника. Визуальный гид (2020). Что такое высота

Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.

Определение

Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя сторонами составляют треугольник.

Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, не стандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.

Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.

Как правило, высота треугольника имеет обозначение буквой h. Так же обозначается высота и в других фигурах.

Как найти высоту треугольника?

Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:

Через теорему Пифагора

Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.

Дано : равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.

Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основания:

• Высота совпадает с медианной и биссектрисой
• Делит основание на две равные части.

Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4

Высота это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВН является катетом этого треугольника.

Найдем высоту по теореме Пифагора: $$ВD=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{25-16}=3$$

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.

Через площадь треугольника

Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.

Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.

Формула площади треугольника: $$S={1\over2}*bh$$, где b – это сторона треугольника,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:

$$h=2*{S\over b}$$

Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*{15\over5}=6$$

Через тригонометрическую функцию

Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Угол ВСН=300 , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся синусом. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH.

Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:

$$BH=BC*\cos (60\unicode{xb0})=8*{1\over2}=4$$

Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 137.

Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками, которые соединены тремя отрезками. Чтобы найти, чему равна высота треугольника, необходимо, в первую очередь, определить его тип. Треугольники различаются величиной углов и количеством равных углов. По величине углов треугольник может быть остроугольным, тупоугольным и прямоугольным. По числу равных сторон выделяют равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники. Высота – это перпендикуляр, который опущен на противоположную сторону треугольника из его вершины. Как найти высоту треугольника?

Как найти высоту равнобедренного треугольника

Для равнобедренного треугольника характерно равенство сторон и углов при его основании, поэтому проведенные к боковым сторонам высоты равнобедренного треугольника всегда равны друг другу. Также высота данного треугольника одновременно является медианой и биссектрисой. Соответственно, высота делит основание пополам. Рассматриваем получившийся прямоугольный треугольник и находим сторону, то есть высоту равнобедренного треугольника, посредством теоремы Пифагора. Воспользовавшись следующей формулой, вычисляем высоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 , где: а - боковая сторона данного равнобедренного треугольника, b - основание данного равнобедренного треугольника.

Как найти высоту равностороннего треугольника

Треугольник с равными сторонами называется равносторонним. Высоту такого треугольника выводят из формулы высоты равнобедренного треугольника. Получается: H = √3/2*a, где a - сторона данного равностороннего треугольника.

Как найти высоту разностороннего треугольника

Разносторонним называют треугольник, у которого какие-либо две стороны не являются равными друг другу. В таком треугольнике все три высоты будут разными. Рассчитать длины высот можно при помощи формулы: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, где а - сторона треугольника или сначала посчитать площадь конкретного треугольника по формуле Герона, которая выглядит как: S = (p*(p-c)*(p-b)*(p-a))^1/2, где а, b, с – стороны разностороннего треугольника, а p – его полупериметр. Каждая высота = 2*площадь/сторону

Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Высота, которая проходит к одному из катетов, в то же время является вторым катетом. Поэтому чтобы найти лежащие на катетах высоты, нужно воспользоваться изменённой формулой Пифагора: a = √(c 2 − b 2), где a, b - это катеты (a - катет, который необходимо найти), c - длина гипотенузы. Для того, чтобы найти вторую высоту надо поставить полученное значение a на место b. Для нахождения третьей, лежащей внутри треугольника, высоты применяется следующая формула: h = 2s/a, где h - высота прямоугольного треугольника, s - его площадь, a - длина стороны, к которой будет перпендикулярна высота.

Треугольник называется остроугольным в случае, если все его углы острые. В таком случае все три высоты располагаются внутри остроугольного треугольника. Треугольник называется тупоугольным при наличии одного тупого угла. Две высоты тупоугольного треугольника находятся вне треугольника и падают на продолжение сторон. Третья сторона находится внутри треугольника. Высота определяется при помощи все той же теоремы Пифагора.

Общие формулы, как вычисления высоты треугольника

• Формула для нахождения высоты треугольника через стороны: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), где h - высота, которую нужно найти, а, b и c – стороны данного треугольника, p – его полупериметр, .
• Формула для нахождения высоты треугольника через угол и сторону: H=b sin y = c sin ß
• Формула для нахождения высоты треугольника через площадь и сторону: h = 2S/a, где a – это сторона треугольника, а h – построенная к стороне а высота.
• Формула для нахождения высоты треугольника через радиус и стороны: H= bc/2R.

как найти высоту в треугольнике, если даны все три стороны и получил лучший ответ

Ответ от Вусат Джафаров[активный]
Короче делай так: найди площадь по формуле S=под корнем p*(p-a)*(p-b)*(p-c), р -это полупириметр находим его так 15+13+14= 42, это пириметр а полупириметр это половина пириметра=21, А а, b,c- это стороны, а=15, b=13, c=14, и получаем S= под корнем 21*(21-15)*(21-13)*(21-14), получаем S= под корнем 21*6*8*7, S= корень из 7056, S=84!!!теперь находим высоту из формулы S=1/2 основания умножить на высоту, основание-СЕ; 84=1/2*14*h, 84=7*h, h=84/7, h=12. Ответ: высота=12!!!

Ответ от Пользователь удален [новичек]
Вот поэтому я себя иногда низко чувствую! Мне 19 лет, а я не могу решить такую задачу ждля 3 класса, пиздец! Стыдно!

Ответ от Al0253 [гуру]
Вырежи, взвесь. Раздели на удельный вес бумаги. Раздели на толщину бумаги. Раздели на длину основания треугольника. Получится высота...

Ответ от Инженер [гуру]
Сначала по Герону определяем площадь треугольника через его стороны.
Ну а потом сами догадаетесь.
Ответ 84

Ответ от ЛИЛУ [активный]
Высота делит основание на две равные части, а далее воспользуйся теоремой Пифагора. А в принципе - ты лентяй.

Ответ от ИomoN [гуру]
Спасибо - "вспомнил детство ЗОЛОТОЕ"))
Ответ: высота равна 12 см. А решение.. . ОООЧЕНЬ простое).. . Без формул вообще).. . Но по теореме Пифагора.
Рисуешь треугольник.. . вместе с высотой.. . Видишь теперь 2 треугольника "внутри первоначального".
Основание СЕ - на котором находится точка М.
Если обозначить расстояние СМ=Х, то расстояни МУ=(14-Х) .
Теперь находим Х, если приравняем расчет высоты из двух этих треугольников (квадратный корень и в левой и в правой части равенства - я сразу "убираю"). Получаем:
15*15-Х*Х=13*13-(14-Х) *(14-Х).. . Если решить правильно, то СМ=Х=9 см.
Тогда искомая высота DM*DM=15*15-9*9=225-81=144.
Берем квадратный корень...и DM=12 см.

Ответ от 2 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: как найти высоту в треугольнике, если даны все три стороны

Как найти наибольшую или наименьшую высоту треугольника? Чем меньше высота треугольника, тем больше проведенная к ней высота. То есть наибольшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наименьшей стороне. — та, которая проведена к наибольшей из сторон треугольника.

Чтобы найти наибольшую высоту треугольника , можно площадь треугольника разделить на длину стороны, к которой проведена эта высота (то есть на длину наименьшей из сторон треугольника).

Соответственно, для нахождения наименьшей высоты треугольника можно площадь треугольника разделить на длину его наибольшей стороны.

Задача 1.

Найти наименьшую высоту треугольника, стороны которого равны 7 см, 8 см и 9 см.

Дано:

AC=7 см, AB=8 см, BC=9 см.

Найти: наименьшую высоту треугольника.

Решение:

Наименьшая из высот треугольника — та, которая проведена к его наибольшей стороне. Значит, нужно найти высоту AF, проведенную к стороне BC.

Для удобства записи введем обозначения

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Высота треугольника равна частному от деления удвоенной площади треугольника на сторону, к которой эта высота проведена. можно найти с помощью формулы Герона. Поэтому

Вычисляем:

Ответ:

Задача 2.

Найти наибольшую сторону треугольника со сторонами 1 см, 25 см и 30 см.

Дано:

AC=25 см, AB=11 см, BC=30 см.

Найти:

наибольшую высоту треугольника ABC.

Решение:

Наибольшая высота треугольника проведена к его наименьшей стороне.

Значит, нужно найти высоту CD, проведенную к стороне AB.

Для удобства обозначим

При решении различного рода задач, как сугубо математического, так и прикладного характера (особенно в строительстве), нередко требуется определить значение высоты определенной геометрической фигуры. Как рассчитать данную величину (высоту) в треугольнике?

Если мы попарно совместим 3 точки, расположенные не на единой прямой, то полученная фигура будет треугольником. Высота – часть прямой из любой вершины фигуры, которая при пересечении с противоположной стороной образует угол 90°.

Найти высоту в разностороннем треугольнике

Определим значение высоты треугольника в случае, когда фигура имеет произвольные углы и стороны.

Формула Герона

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, где

p – половина периметра фигуры, h(a) – отрезок к стороне a, проведенный под прямым углом к ней,

p=(a+b+c)/2 – расчет полупериметра.

В случае наличия площади фигуры для определения ее высоты можно воспользоваться соотношением h(a)=2S/a.

Тригонометрические функции

Для определения длины отрезка, который составляет при пересечении со стороной a прямой угол, можно воспользоваться следующими соотношениями: если известна сторона b и угол γ или сторона c и угол β, то h(a)=b*sinγ или h(a)=c*sinβ.
Где:
γ – угол между стороной b и a,
β – угол между стороной c и a.

Взаимосвязь с радиусом

Если исходный треугольник вписан в окружность, для определения величины высоты можно воспользоваться радиусом такой окружности. Центр ее расположен в точке, где пересекаются все 3 высоты (из каждой вершины) – ортоцентре, а расстояние от него и до вершины (любой) – радиус.

Тогда h(a)=bc/2R, где:
b, c – 2 другие стороны треугольника,
R – радиус описывающей треугольник окружности.

Найти высоту в прямоугольном треугольнике

В данном виде геометрической фигуры 2 стороны при пересечении образуют прямой угол – 90°. Следовательно, если требуется определить в нем значение высоты, то необходимо вычислить либо размер одного из катетов, либо величину отрезка, образующего с гипотенузой 90°. При обозначении:
a, b – катеты,
c – гипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гипотенузу.
Произвести необходимые расчеты можно с помощью следующих соотношений:

• Пифагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S=ab/2,то h(c)=ab/c .

• Тригонометрические функции:

a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Найти высоту в равнобедренном треугольнике

Данная геометрическая фигура отличается наличием двух сторон равной величины и третьей – основанием. Для определения высоты, проведенной к третьей, отличной стороне, на помощь приходит теорема Пифагора. При обозначениях
a – боковая сторона,
c – основание,
h(c) – отрезок к c под углом 90°, то h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).